Wie eine Tücke der Schulmathematik jeden in die Irre führt, der bei Karten nicht genau hinschaut

Grönland tut nur so, als wäre es riesig. Schuld ist die Mathematik. (Bildquelle: LittleNavMap, Open Topo Map)

Weltkarten lügen, denn sie können nicht anders: Immer wenn ihr auf eine flache Darstellung der Welt blickt, täuscht sie euch. Aus aktuellem Anlass widmen wir uns Grönland, denn dort zeigt sich das Problem besonders deutlich: Nie wussten wir mehr über die Maße der Erde und unterliegen heute doch vermutlich mehr Irrtümern als je zuvor.

Schuld daran ist die moderne Kartografie, die zwar so präzise und detailreich ist wie nie zuvor, aber an einer unlösbaren Aufgabe scheitert. Wir ergründen mit euch anhand von Grönland eines der ältesten Mathematik-Probleme der Menschheit, das bis heute buchstäblich unser Weltbild (falsch) prägt.

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Die Haut der Kugel bekommt Risse

Grönland demonstriert ausgezeichnet eine Tücke der Kartografie. Der Versuch, die Oberfläche einer Kugel auf eine Ebene zu spannen, ist eine echte Kopfnuss – an der sich wohlgemerkt seit Jahrhunderten unterschiedlichste Professionen versuchen.

Man könnte meinen, dass wir dieses Problem in der heutigen Zeit längst gelöst haben müssten. Dem ist aber nicht so: Uns steht dieselbe unumstößliche Logik der Mathematik im Weg, wie den alten Griechen.

Macht gern mit: Öffnet Google Maps oder schaut alternativ bei Bing oder Apple Maps vorbei. Das Ergebnis fällt stets identisch aus. Ihr seht in der Standardansicht auf eine Karte, also eine flache, vereinfachte Repräsentation der Erde. Zentriert jetzt einmal Grönland – riesig, oder?

Eine gewaltige Eisinsel, die es locker mit dem südöstlich liegenden afrikanischen Kontinent aufnimmt, so scheint es zumindest. Dabei übertrifft Afrika die Fläche Grönlands real um das 14-Fache. Dennoch haben beide für sich genommen recht – die Karte sowie der Globus.

Wie kann das sein? Wir sitzen hier alle einer Schwäche der sogenannten Mercator-Kartenprojektion auf. Sie bläht die 2,166 Millionen Quadratkilometer Grönlands drastisch auf. Die erscheinen dadurch ähnlich ausladend wie die 30,37 Millionen Quadratkilometer Afrikas (via Geowiki).

Hier seht ihr den Vergleich, links die Mercator-Kartenprojektion und rechts die Abbildung auf einem digitalen Globus (Bildquelle: Google Maps)

Stellt euch diese Verzerrungen wie Risse vor, die sich auftun, sobald die Kugelhaut auf den Tisch gespannt wird. Je nachdem, wie wir das anstellen, entstehen andersartige Effekte. In der Mathematik bezeichnen wir diese verschiedenen Methoden, die Erdkugel flachzulegen, als Projektionen.

Unmöglicher Perfektionismus

Jede zweidimensionale Karte der Erde steht für einen Kompromiss, keine Mathematik vermag es, die runde Erde in allen Dimensionen exakt aufs Papier oder den Bildschirm zu bringen.

Eine Kartenprojektion kann mehr oder weniger…

flächentreu sein: Hiermit ist gemeint, dass die auf der Karte abgebildete Fläche bei Berechnung mithilfe des Maßstabes exakt der realen Fläche entspricht
abstandstreu sein: Entfernungen von einem bestimmten Punkt aus oder in bestimmte Richtungen werden stets korrekt abgebildet.
winkeltreu sein: Die Formen etwa von Ländern, Kontinenten und Inseln entsprechen der Realität.

Je nach Projektion überwiegt einer oder zwei der drei Faktoren und deshalb gilt stets: Jede Projektion verzerrt mindestens eine Metrik. Bei kleinräumlichen Darstellungen nimmt die Wahl eine weniger bedeutende, jedoch selbst dann nie komplett irrelevante Rolle ein.

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Im Alltag würde es im Falle von Deutschland aber deutlich weniger ausmachen, mit welcher mathematischen Formel unser Land vom Runden aufs Flache transportiert wird. Als Faustregel gilt: Je größer eine Region ist und je näher sie an den Polen liegt, desto stärker verzerrt die Mercator-Projektion das Bild.

Grönland als größte Insel sowie Russland oder auch Kanada als Flächenstaaten, die beide quasi den Pol einrahmen, gelten als prominenteste Beispiele.

Hinweis: Auch wenn wir im Zuge dieses Artikels immer wieder von der Erdkugel sprechen, würde sich unser Planet in der Beschreibung eigentlich kaum wiederfinden. Die Erde ist keine perfekte Kugel, sie ist am ehesten ein Ellipsoid, da sie durch ihre eigene Rotation abflacht. Strenggenommen sprechen wir von einem Geoiden, da weder die interne Masseverteilung noch die externe Struktur gleichmäßig ist. Exakt analysiert und durchleuchtet entspricht die Erde am ehesten einer rundlichen Kartoffel (via geothermie).

Schauen wir uns Grönland in verschiedenen Projektionen an, die fast alle nach ihren Erfindern benannt sind:

Mercator: Grönland wirkt riesig – im Vergleich zu Afrika etwa 14-mal größer, als es die realen Flächenverhältnisse hergeben würden, da eine starke Flächenverzerrung an den Polen vorliegt. Dafür ist die Karte aber perfekt winkeltreu, weshalb sie die ideale Wahl für die Navigation darstellt. So können Kompasskurse geradlinig abgefahren werden.
Robinson und Winkel-Tripel: Beide treffen weder Flächen noch Winkel oder Abstände perfekt. Sie verzerren alles minimal und nehmen deshalb heutzutage den Rang von meistgewählten Kompromissprojektionen für Weltkarten ein. Bei Robinson erscheint Grönland schlimmstenfalls doppelt und bei Winkel-Tripel etwa 1,3-mal so groß. Bis 1998 nutzte National Geographic Robinson, ehe sie als Standardwerk der Geografie/Kartografie auf Winkel-Tripel wechselten.

Der neue Standard bei Weltkarten in Atlanten nach Winkel-Tripel. Nicht perfekt, aber doch so nah dran, wie es ein flaches Stück Papier vermag. (Bildquelle: Maria, Adobe Stock)

Gall-Peters und Mollweide: Zu 100 Prozent flächentreue Darstellungen, allerdings wirkt die Erde für unsere Augen eher seltsam. Länder werden gedehnt oder zerquetscht. Größenunterschiede treten jedoch direkt unübersehbar hervor: Grönland ist winzig, Europa verzwergt im Gegensatz zum gigantischen afrikanischen Kontinent.

Eine Weltkarte nach Gall-Peters. DIe Flächen passen, aber der Rest schaut teils seltsam aus. (Bildquelle: Griffin9678, Adobe Stock)

Azimutal-Äquidistant: Diese Projektion findet ausschließlich bei Karten Verwendung, die auf die Pole zentriert sind. Sie ist abstandstreu, dehnt aber die Flächen aus, je weiter sie vom Zentrum entfernt liegen. Grönland würde hier ebenfalls aufgeblasen verzeichnet auftreten, bis zum Fünffachen.

Solch eine Darstellung der Erde findet ihr im Logo der Vereinten Nationen: der Pol im Zentrum, der Rest bis 60 Grad Süd davon abfallend. (Bildquelle: Terry, Adobe Stock)

Aber weshalb nutzen denn jetzt Google Maps und Co. immer noch Mercator? Die Antwort liegt wie meistens bei Karten im Zweck. Quasi alle Kartenapps, egal ob auf dem PC, Tablets oder Smartphones dienen der Navigation. Und der nützt vor allem über lange Distanzen die Einfachheit der Mercator-Darstellung.

Dank moderner Software verfügen wir indes über eine Möglichkeit, das Problem zu umgehen. So wird bei professionellen Programmen je nach dargestelltem Raum automatisch eine passende Projektion gewählt, um die Verfälschung jeweils zu minimieren. Allerdings begegnen uns solche Funktionen im Alltag eher weniger, da sie für spezielle Berufsgruppen ausgelegt sind.

Tipp: Zur Verdeutlichung, wie sehr die Lage einer Fläche bei der gebräuchlichen Mercator-Projektion darüber entscheidet, wie groß sie dargestellt wird, schaut gern mal hier: thetruesize.

In der App greift ihr euch einfach beliebige Länder und schiebt sie über eine Mercator-Weltkarte. Rasch seht ihr so zum Beispiel auch, dass Russland zwar deutlich größer als Resteuropa zusammen, aber nicht im Entferntesten derart gigantisch wirkt.

Augen auf: … die Projektion!

Wenn ihr also in Zukunft mit Karten umgeht, achtet auf die Darstellung oder schaut zumindest mal auf die Größenverhältnisse. Sie sind mit bloßem, selbst ungeschultem Auge meist am einfachsten zu erkennen.

So erübrigen sich je nach Projektion manche Fragen direkt oder lassen vermeintlich simpel-einleuchtende Botschaften in einem vollkommen neuen Licht dastehen. Wer unseren Heimatplaneten aber möglichst unverzerrt und in seiner Gänze betrachten möchte, dem bleibt der Blick auf den Globus – ganz egal, ob digital auf dem Bildschirm oder als echtes Modell auf dem Schreibtisch.