Ein 2.500 Jahre altes Gedankenexperiment stellt unsere Vorstellung von Unendlichkeit infrage

Achilles ist schnell, die Schildkröte langsam. Und trotzdem soll sie uneinholbar sein? (Bildquelle: Adobe Firefly, KI-generiert; Prompt: Alexander Köpf)

Kann ein schneller Läufer eine langsame Schildkröte nicht einholen? Natürlich kann er das. Dennoch behauptet eines der berühmtesten Paradoxa der Antike genau das Gegenteil.

Das Gedankenexperiment stammt von Zenon von Elea (ca. 490 bis 430 v. Chr.). Es ist schnell erzählt:

Achilles, ein mythologischer griechischer Held, der für seine Schnelligkeit bekannt ist, tritt in einem Rennen gegen eine Schildkröte an. Diese bekommt einen Vorsprung. Und obwohl Achilles deutlich schneller ist, soll er sie niemals einholen können.

Warum das zunächst plausibel klingt

Zenons Begründung hierfür wirkt auf den ersten Blick erstaunlich schlüssig. Denn Achilles muss zunächst den Punkt erreichen, an dem die Schildkröte gestartet ist. Währenddessen ist sie aber bereits ein Stück weitergelaufen.

Dann muss er diesen neuen Punkt erreichen. Doch auch dann ist die Schildkröte wieder ein kleines Stück voraus. So setzt sich das unendlich fort.

Der Gedanke dahinter lautet also: Wenn Achilles immer erst den letzten Ort der Schildkröte erreicht, dann gibt es offenbar unendlich viele Teilstrecken. Und wenn es unendlich viele Teilstrecken gibt, dann scheint das Rennen niemals zu enden.

2:54 Wir zeigen euch den Kurs des interstellaren Kometen 3I/Atlas mithilfe von Universe Sandbox

Wo der Denkfehler liegt

Genau hier liegt jedoch der Haken.

Denn aus unendlich vielen gedanklichen Zwischenpunkten folgt nicht, dass ein realer Bewegungsablauf unendlich lange dauern muss. Eine Bewegung wie das Rennen des Achilles kann in unendlich viele immer kleinere Abschnitte zerlegt und trotzdem in einer endlichen Zeit abgeschlossen werden.

Das Zahlenbeispiel

Man kann das anhand eines einfachen Rechenbeispiels zeigen:

Hat die Schildkröte 100 Meter Vorsprung und Achilles läuft zehnmal so schnell, dann muss er zunächst 100 Meter zurücklegen, dann 10, dann 1, dann 0,1, dann 0,01 und so weiter.

Das kommt dabei heraus:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … = 111,1...(periodisch)

Das sind zwar unendlich viele Teilstücke, aber sie werden immer kleiner. Und deshalb ergibt die Summe auch keine unendliche Strecke, sondern einen endlichen Wert: etwas mehr als 111,1 Meter. Oder in einem Bruch ausgedrückt: 1000/9 Meter.

Dort holt Achilles die Schildkröte ein.

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Der entscheidende Unterschied

Der entscheidende Punkt ist also nicht, dass man immer noch einen weiteren Zwischenabschnitt denken kann. Das kann man tatsächlich. Im Ergebnis folgen dann unendlich viele Einsen nach dem Komma.

Entscheidend ist aber vielmehr, dass unendlich viele Schritte zusammen trotzdem endlich sein können. Zwischen 0 und 1 liegen unendlich viele Punkte, dennoch ist die Strecke am Ende 1 und damit endlich.

Hier hilft vielleicht eine wichtige Unterscheidung: Etwas anderes wäre es, wenn man eine Bewegung künstlich so festlegen würde, dass jemand beispielsweise immer nur die Hälfte des Restabstands zurücklegt und nach jedem Schritt anhält. Dann würde das Ziel tatsächlich nie erreicht, völlig egal, wie nah es ist.

Aber Achilles bewegt sich nicht auf diese Weise. Er stoppt nicht unendlich oft, sondern läuft einfach mit unverminderter Geschwindigkeit weiter. Die unendlich vielen Teilstücke entstehen nur in der Beschreibung, nicht im wirklichen Ablauf.

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Warum das Paradoxon bis heute wichtig ist

Deshalb ist Zenons Paradoxon bis heute so interessant. Es zeigt, wie schnell unser Denken ins Stolpern gerät, sobald Unendlichkeit ins Spiel kommt.

Der Fehler besteht letztlich darin, die gedankliche Zerlegung einer Bewegung mit dem tatsächlichen Bewegungsablauf zu verwechseln.

Achilles holt die Schildkröte ein.