Das Münzen-Paradoxon: Warum unser Gehirn bei diesem einfachen Rätsel komplett versagt

Zunächst schauen wir uns an, wie es sich bei zwei unterschiedlichen großen Kreisen verhält. Später folgt dann das Beispiel mit den zwei Münzen. (Bildquelle: Adobe Firefly, KI-generiert; Prompt: Alexander Köpf)

1982 tauchte im Mathematikteil des amerikanischen Studieneignungstests SAT eine Aufgabe auf, die auf den ersten Blick simpel wirkte. Ein kleiner Kreis rollt außen um einen größeren Kreis herum. Der Radius des kleinen Kreises beträgt dabei ein Drittel des Radius des großen.

Gefragt wurde: Wie oft dreht sich der kleine Kreis, bis er wieder am Ausgangspunkt ankommt?

Die naheliegende Antwort lautet: dreimal.

Der Gedanke dahinter wirkt zunächst schlüssig. Wenn der große Kreis den dreifachen Radius des kleinen hat, muss er auch den dreifachen Umfang davon haben. Demnach müsste der kleine Kreis beim Abrollen genau drei Umdrehungen machen.

Diese Antwort war auch eine der Auswahlmöglichkeiten.

Nur ist sie falsch.

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Warum die Aufgabe im Test ein Problem war

Richtig ist: Der kleine Kreis dreht sich viermal.

Doch die korrekte Antwort war im Test gar nicht vorgegeben. Der Fehler war am Ende so gravierend, dass zahlreiche Prüfungen neu bewertet werden mussten – nur drei von mehreren Hunderttausend Schülern bemerkten, dass etwas nicht stimmte.

Der Denkfehler rührt daher, dass man den Umfang des Kreises gedanklich automatisch wie eine gerade Strecke behandelt. Und würde der kleine Kreis tatsächlich auf einer geraden Strecke mit der dreifachen Länge seines eigenen Umfangs rollen, dann käme man auch auf drei Umdrehungen.

Beim Umlauf um einen Kreis passiert jedoch etwas anderes.

Was wirklich gezählt werden muss

Entscheidend ist nicht nur der Umfang des großen Kreises, sondern die Bahn, die der Mittelpunkt des kleinen Kreises beschreibt.

Im Falle des SAT-Tests ist der Radius des großen Kreises dreimal so groß wie der des kleinen. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises bewegt sich demnach auf einer Bahn mit dem Radius drei plus eins – also mit vier kleinen Radien.

Deshalb entspricht die Bahn auch vier Umfängen des kleinen Kreises und nicht drei.

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Ab hier wird es ein bisschen verwirrend

Denn die Antwort »drei« ist nicht völlig absurd. In Relation zum Rand des großen Kreises braucht der kleine Kreis tatsächlich nur drei Umdrehungen für eine volle Umrundung.

Am besten stellt ihr euch das so vor: Die Anfangsposition des kleinen Kreises steht gewissermaßen auf zwölf Uhr, also oben am großen Kreis. Entlang des Radius des kleinen Kreises zeigt ein Pfeil senkrecht nach unten – auf den Mittelpunkt des großen Kreises.

Bewegt sich nun der kleine Kreis im Uhrzeigersinn um den größeren, passiert Folgendes: Nach einer vollen Umdrehung muss der Pfeil wieder senkrecht nach unten zeigen. Das passiert zuerst auf drei Uhr, also braucht eine Rotation genau ein Viertel des Umfangs des großen Kreises.

Aus Sicht des großen Kreises ist eine Umdrehung aber erst dann erfüllt, wenn der Pfeil wieder exakt in seine Mitte zeigt. Dafür braucht der kleine Kreis allerdings ein Drittel des Umfangs des großen Kreises. Ein YouTube-Video verdeutlicht das:

Link zum YouTube-Inhalt

Eine Analogie: der Mond

Das wirkt paradox, aber etwas Ähnliches erleben wir tagtäglich anhand unseres Mondes. Dieser hat bekanntermaßen eine Seite, die im Wesentlichen immer der Erde abgewandt ist. Das bedeutet: Die andere Seite des Erdtrabanten zeigt zum Erdmittelpunkt – deshalb sehen wir auch nur diese Seite.

Die sogenannte Liberation einmal außen vor gelassen. Denn tatsächlich sehen wir etwas mehr als die Hälfte des Mondes (59 Prozent seiner Oberfläche).

Auf seiner Bahn um die Erde wirkt es aus unserer Sicht so, als würde sich der Mond selbst nicht drehen. In Wahrheit dreht er sich bei seiner Erdumrundung aber genau einmal um seine eigene Achse – das nennt man gebundene Rotation.

Zwei gleich große Münzen machen es noch anschaulicher

Was sich mit dem kleinen und dem großen Kreis zeigt, lässt sich anhand zweier gleich großer Münzen noch besser erkennen.

Legt man eine davon auf den Tisch und rollt die zweite außen um sie herum, dann erwarten viele spontan, dass sich die bewegte Münze einmal dreht.

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Tatsächlich sind es aber zwei Umdrehungen.

Der Grund ist derselbe wie beim Eignungstest: Der Mittelpunkt der rollenden Münze beschreibt eine Kreisbahn mit dem doppelten Münzradius.

Probiert es – zum Beispiel mit zwei Zwei-Euro-Münzen: Fangt oben, auf zwölf Uhr, an, denkt euch vom Mittelpunkt der äußeren Münze einen roten Pfeil, der senkrecht nach unten, auf den Mittelpunkt der inneren Münze zeigt.

Ihr werdet feststellen, dass die Münze ihre erste Umdrehung genau bei der Hälfte, auf sechs Uhr, vollführt. Der gedachte rote Pfeil zeigt wieder senkrecht nach unten – die beiden Münzen sind exakt gleich ausgerichtet.

Das passiert noch einmal, sobald die äußere Münze die Ausgangsposition auf zwölf Uhr erreicht. Sie dreht sich also zweimal um die innere Münze.

Aus Sicht der inneren Münze sieht es erneut anders aus: Der gedachte rote Pfeil zeigt erst nach einer vollen Umrundung wieder Richtung ihres Mittelpunkts.

Demnach sieht es aus ihrer Sicht so aus, als hätte sich die äußere Münze nur einmal gedreht. Das folgenden YouTube-Video veranschaulicht das:

Link zum YouTube-Inhalt

Die einfache Regel dahinter

Bei dem Phänomen handelt es sich um das sogenannte Münzen-Rotations-Paradoxon. Es zeigt, wie schnell unsere Intuition versagt, sobald eine Strecke gekrümmt ist.

Für das äußere Abrollen eines Kreises um einen anderen gilt:

Anzahl der Umdrehungen = R/r +1

Dabei ist R der Radius des festen (inneren) Kreises und r der Radius des rollenden Kreises.

Bei zwei gleich großen Kreisen wie den Zwei-Euro-Münzen ergibt das:

1/1 + 1 = 1 + 1 = 2

Beim SAT-Test entsprechend:

3/1 + 1 = 3 + 1 = 4

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Warum der Fall bis heute so interessant ist

Das Besondere an der Geschichte ist, dass der Fehler nicht in irgendeinem hochabstrakten Fachgebiet der Mathematik liegt. Es geht nicht um schwierige Beweise oder exotische Vermutungen.

Es geht um eine Bewegung, die sich mit zwei Münzen auf einem Tisch nachstellen lässt.

Und trotzdem ist die intuitive Antwort meist falsch – offenbar sogar für die Leute, die damals den Eignungstest entworfen haben.