»Schämen Sie sich!«: Wieso der intelligenteste Mensch der Welt von Professoren ausgelacht wurde – und dennoch recht behielt

Ganz so verwirrend wie das Symbolbild ist das »Ziegenproblem« nicht. (Bildquelle: Unsplash/Thomas T)

Drei Tore. Hinter einem steht oft ein Cadillac, eine Corvette Stingray oder ein Chevrolet Camaro, hinter den beiden anderen jeweils eine Ziege – zumindest sinnbildlich.

Ein Kandidat entscheidet sich für ein Tor. Danach öffnet der Moderator eines der anderen beiden, zeigt eine Niete oder einen kuriosen Scherzpreis und stellt die entscheidende Frage: Bei der ersten Wahl bleiben oder wechseln?

Die meisten Menschen denken intuitiv: Wenn noch zwei Tore übrig sind, müssen die Chancen 50 zu 50 stehen.

Doch das ist falsch.

Das berühmte Paradoxon ist hierzulande als Ziegenproblem bekannt. International spricht man vom Monty-Hall-Problem. Es wirkt zunächst simpel, beinahe belanglos. Und doch zählt es zu den bekanntesten Beispielen dafür, wie unzuverlässig unsere Intuition bei Wahrscheinlichkeiten sein kann.

Die Kombination macht den Unterschied

Berühmt wurde es aber auch durch die heute 79-jährige Marilyn vos Savant, die zeitweise als Mensch mit dem höchsten gemessenen Intelligenz-Quotienten im Guinness-Buch der Rekorde geführt wurde.

Im Jahr 1990 beantwortete vos Savant in ihrer regelmäßigen Kolumne »Ask Marilyn« im US-Magazin Parade eine Leserfrage zu exakt diesem Problem.

Ihre Antwort war eindeutig: Man sollte wechseln.

Viele Leserinnen und Leser hielten das jedoch für absurd. Schließlich seien nach dem Öffnen eines Tores doch nur zwei Möglichkeiten übrig. Und auch Akademiker erklärten ihr, dass sie falsch liege, beschimpften sie sogar. Eines der bekanntesten Beispiele hierfür ist Professor Scott Smith von der University of Florida:

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Das Rätsel mit den drei Toren

Die klassische Version des Problems ist nach der US-Spielshow »Let’s Make a Deal« benannt, deren Moderator lange Zeit der mittlerweile verstorbene Monty Hall (1921 – 2017) war.

Entscheidend ist dabei ein Detail, das leicht übersehen wird. Der Moderator öffnet nicht zufällig irgendein Tor, sondern gezielt eines, hinter dem sich eine »Ziege« verbirgt.

Erst durch diesen fast unscheinbaren Umstand wird aus der Spielshow ein mathematisches Problem. Denn nach der ersten Wahl geht es nicht einfach um zwei übrige Tore, sondern darum, welche Information (im Sinne von Wahrscheinlichkeit) im geöffneten Tor steckt.

Im nächsten Schritt darf der Kandidat entscheiden, ob er bei der ursprünglichen Wahl bleibt oder zum anderen Tor wechselt.

Er sollte wechseln. Doch warum?

Beim ersten Tipp liegt die Gewinnchance bei einem Drittel. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter einem der beiden anderen Tore steht, zwei Drittel.

Nun kommt der ebenso simple wie brillante Gedankensprung. Wenn der Moderator ein »Ziegentor« öffnet, verändert das nicht rückwirkend die Wahrscheinlichkeiten.

Für die ursprüngliche Wahl gilt weiterhin eine Chance von einem Drittel. Da die anderen beiden Tore zusammen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von zwei Dritteln haben und der Moderator eine Niete entfernt, konzentriert sich die Zwei-Drittel-Chance auf das geschlossene Tor.

Darum gilt: Wer bei seiner Wahl bleibt, gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel. Wer wechselt, gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln.

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Warum das so falsch wirkt

Das Gemeine am Ziegenproblem ist nicht diese Rechnung, sondern dass die falsche Antwort derart überzeugend wirkt.

Ein Gedankenexperiment macht das deutlicher: Stellt euch nicht drei Tore vor, sondern 100. Hinter einem steht ein Auto, hinter 99 stehen Ziegen. Ihr wählt ein Tor. Die Chance auf einen Treffer liegt so bei 1 zu 100.

Nun öffnet der Moderator 98 Tore, hinter denen garantiert die symbolischen Ziegen stehen. Übrig bleiben also nur eure ursprüngliche Wahl und ein weiteres verschlossenes Tor.

Würdet ihr jetzt wirklich annehmen, die Chancen für beide Tore stünden gleich?

Wohl eher nicht.

Für das zuerst gewählte Tor gilt weiterhin eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu 100. Das zweite, übrig gebliebene Tor trägt die gesamte restliche Wahrscheinlichkeit. Wer wechselt, gewinnt mit einer Chance von 99 Prozent.

Wenn man genau darüber nachdenkt, ist das Ziegenproblem also kein geschickter Trick. Vielmehr zeigt es, dass wir intuitiv unterschätzen, wie viel Information in einer Niete steckt.

Warum bekam vos Savant dann so viel Gegenwind?

Marilyn vos Savant widersprach schlicht dem Bauchgefühl vieler Menschen. Besonders bemerkenswert ist aber, dass unter den Kritikern nicht nur Laien waren, sondern auch etliche Menschen mit mathematisch-naturwissenschaftlichem Hintergrund.

Etwa der Mathematik-Professor Robert Sachs:

Später entschuldigte sich Sachs immerhin und gab zu, selbst einer Fehleinschätzung aufgesessen zu sein. Das unterstreicht, wie hartnäckig unsere Intuition bisweilen gegen die Vernunft der Mathematik ankämpft.

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Und obwohl die Formulierung »intelligentester Mensch der Welt« heute sehr viel vorsichtiger eingesetzt wird als zu Beginn der 1990er-Jahre und diese Kategorie längst aus dem Guinness-Buch der Rekorde gestrichen wurde, ist für die Geschichte dennoch entscheidend:

Eine Frau mit dem Ruf außergewöhnlicher Intelligenz gab eine Antwort, die viele für falsch hielten. Dennoch hatte sie recht.

Was das mit »Geh aufs Ganze!« zu tun hat

Viele erinnert das Szenario sehr wahrscheinlich an die 90er-Jahre-Show »Geh aufs Ganze!«: Tore, Gewinne, ein Moderator, der zu verführen versuchte und natürlich der berühmte Zonk.

Das ist auch naheliegend. Schließlich war das die deutsche Adaption von »Let’s Make a Deal«, also jener Sendung, mit der das Ziegenproblem historisch verbunden ist.

Trotzdem lässt es sich nicht automatisch auf »Geh aufs Ganze!« übertragen. Denn die Regeln waren leicht anders, oft gab es auch lediglich einen Zonk, einen mittleren Preis und den Hauptgewinn.

Doch das Ziegenproblem funktioniert nur unter klaren Bedingungen: Der Moderator kennt die Position des Hauptgewinns, öffnet nach der ersten Wahl immer eine Niete und bietet anschließend immer den Wechsel an.

Außerdem muss es genau einen Hauptgewinn und zwei gleichwertige Nieten geben. Andernfalls könnte er das Tor mit dem mittleren Preis öffnen und im verbleibenden dritten Tor stünde eine Ziege oder ein Zonk.

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Die eigentliche Lektion

Das Ziegenproblem ist wohl deshalb besonders faszinierend, weil es in wenigen Sätzen unser Bauchgefühl völlig aus den Angeln hebt.

Die eigentliche Lektion dieser Geschichte liegt aber nicht darin, dass man bei einer Anordnung wie in »Let’s Make a Deal« am Ende wechseln sollte, sondern darin, dass sich Wahrscheinlichkeiten nicht danach richten, was sich für uns symmetrisch oder naheliegend anfühlt.

Eine Spielshow, die seit Jahrzehnten weltweit immer wieder neu aufgelegt wird, verdeutlicht, wie leicht wir Situationen unterschätzen, weil wir sie nicht vollständig erfassen.

Manchmal ist die eigentliche Frage nicht, was wir sehen, sondern was wir übersehen.